Iklan Billboard 970x250

Mengapa turunan dari ln(x) adalah 1/x?

Iklan 728x90

Mengapa turunan dari ln(x) adalah 1/x?

Turunan $f(x)$ terhadap $x$ secara definisi adalah:
${dy \over dx}= \lim_{h \to 0}{{f(x+h)-f(x)} \over h}$



misalkan $y = ln (x)$, berdasarkan definisi diperoleh

${dy \over dx}= \lim_{h \to 0}{{ln(x+h)-ln(x)} \over h}$
$\lim_{h \to 0}{{ln(x+h)-ln(x)} \over h}$
$\lim_{h \to 0}{1 \over h}[{{ln(x+h)-ln(x)}}]$
$\lim_{h \to 0}{1 \over h}[{{ln({{x+h} \over x})}}]$
$\lim_{h \to 0}{1 \over h}[{{ln(1+ {{h} \over x})}}]$

$\lim_{h \to 0}{{ln(1+ {{h} \over x})^{1 \over h}}}$

$\lim_{h \to 0}{{ln(1+ {{h} \over x})^{{x \over h} \times {1 \over x}}}}$

$\lim_{h \to 0}{{ln[(1+ {{h} \over x})^{{x \over h}}}}]^{1 \over x}$

$\lim_{h \to 0}{1 \over x}{{ln[(1+ {{h} \over x})^{{x \over h}}}}]$

jika nilai h dimasukan mendekati 0, maka h/x nilainya akan sangat kecil sekali, sehingga bisa kita anggap menjadi 1/n

sedangkan x/h nilainya akan sangat besar sekali, hingga nilainya mendekati n, sehingga :

$\lim_{h \to 0}{{{ln(x+h)-ln(x)} \over h}} = \lim_{h \to 0}{{1 \over x}{ln(1+{1 \over n})^n}}$

dengan menggunakan deret Maclaurin , kita dapatkan
$\lim_{n \to \infty}{ln(1 + {1 \over n })^n} = e$

maka


$\lim_{h \to 0}{{1 \over x}{ln(1+{1 \over n})^n}} = \lim_{h \to 0}{{1 \over x}ln (e)}$
$\lim_{h \to 0}{{1 \over x} \times 1}$
$\lim_{h \to 0}{{1 \over x}}$

Terbukti
Baca Juga
SHARE

Related Posts

Subscribe to get free updates

Post a Comment