Iklan Billboard 970x250

Jika a^2019 + 1/a^2019 = 1, maka berapakah nilai a + 1/a?

Iklan 728x90

Jika a^2019 + 1/a^2019 = 1, maka berapakah nilai a + 1/a?

Tidak ada keterangan syarat $a$ elemen bilangan apa. Apakah real ($\mathbb{R}$) atau kompleks ($\mathbb{C}$) kita coba dahulu mengerjakannya. Kalau kita bicara di $x \in \mathbb{R}$ maka jawabannya adalah tidak ada solusi yang memenuhi. Berikut pembuktiannya

Anggap $a \in \mathbb{R}$
$a^{2019} +{1 \over {a ^ {2019}}} = 1 $
misalkan $a^{2019} = x$
$x+{1 \over x}= 1$
$x+{1 \over x} -1= 0$
$x^2-x+1=0$

cari akar persamaan kuadrat dengan rumus $abc$

$x_{1,2}={{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}} \over {2a}}$

$x_{1,2}={{1 \pm \sqrt{1- 4}} \over {2}}$

$x_{1,2}={{1 \pm \sqrt{- 3}} \over {2}}$

${{1 \pm \sqrt{- 3}} \over {2}} \notin \mathbb{R}$

berarti tidak punya solusi atas bilangan riil


Sekarang kita coba perluas nilai $x$, jika kita bicara di kompleks mungkin akan berbeda. permasalahan ini akan memiliki jawaban berikut langkah-langkahnya

untuk $a \in \mathbb{C} $ misalkan

$a + {1 \over a} = 2 cos \theta \Leftrightarrow a^2−2cos \theta a+1=0$

sehingga didapat

$a = {{2cos \theta \pm \sqrt{4 cos^2 \theta - 4} } \over {2} }$

$\Leftrightarrow a= {{2cos \theta \pm 2\sqrt{cos^2 \theta - 1} } \over {2} }$

$\Leftrightarrow a= cos \theta \pm i \sqrt{sin^2 \theta}$

$\Leftrightarrow a= cos \theta \pm i sin \theta$

Kalau kita ambil $ a= cos \theta + i sin \theta$, maka ${1 \over a}= cos \theta - i sin \theta$ sehingga sesuai dengan persamaan di atas $a + {1 \over a} = 2cos \theta$

Selanjutnya dengan menggunakan Formula De Moivre didapat

$a^{2019} = (cos \theta + i sin \theta)^{2019}=cos 2019 \theta + i sin 2019 \theta$

$({1 \over a})^{2019}=(cos \theta - i sin \theta)^{2019} =cos 2019 \theta - i sin 2019 \theta$

Diperoleh

$a^{2019} + {1 over {a^{2019}}} = 2 cos 2019 \theta$

$\Leftrightarrow 1 = 2 cos 2019 \theta$

$\Leftrightarrow cos 2019 \theta = {1 \over 2}$

$\Leftrightarrow cos 2019 \theta = cos {\pi \over 3}$

$2019 \theta = {\pi \over 3} \pm 2 \pi k$ untuk $k \in \mathbb{Z}$ pilih $k=0$ didapat $2019 \theta = {\pi \over 3}$

$\Leftrightarrow \theta = {\pi \over 6057}$ Jadi nilai $a + {1 \over a}= 2 cos \theta = 2 cos {\pi \over 6057} \approx 2$
Baca Juga
SHARE
LATEST Older

Related Posts

Subscribe to get free updates

Post a Comment