Iklan Billboard 970x250

Contoh Pembuktian Limit Fungsi Menggunakan Definisi

Iklan 728x90

Contoh Pembuktian Limit Fungsi Menggunakan Definisi

Cara membuktikan nilai limit suat fungsi adalah dengan mencari nilai delta yang bergantung pada epsilon ($δ_ε$)

berikut contoh-contoh pembuktian limit secara formal
1. $lim_{x \to2}{2x-4}=0$

Bukti:

Misalkan ε adalah sembarang bilangan positif. Kita harus menemukan $δ > 0$ sedemikian
sehingga
$0<|x-2|<δ \Rightarrow |(2x-4)-0|<ε$

Perhatikan pertidak saman di bagian kanan

$|(2x-4)-0|<ε \Leftrightarrow |2x-4<ε|$
$|2(x-2)|<ε$
$2|x-2|<ε$
$|x-2|<{{ε} \over{2}}$

Sekarang kita tahu bagaimana memilih sebarang $ε>0$ pasti akan ada  $δ$ dimana $0<|x-2|<δ$, yaitu $δ = {ε \over2}$ . Tentu saja, sembarang $δ$ yang
lebih kecil juga bisa dipilih.

2. $\lim_{x \to1}{{3x^2-2x-1} \over{x-1}}=4$

Bukti:

Misalkan kita pilih sebarang ε>0, maka akan terdapat δ sedemikian hingga
$0<|x-1|<δ \Rightarrow |{{3x^2-2x-1} \over{x-1}}-4|<ε$ dimana $x ≠ 1$

$|{{3x^2-2x-1} \over{x-1}}-4|<ε \Leftrightarrow |{{(3x+1)(x-1)} \over{x-1}}-10|<ε$
kanselasi $(x-1)$ boleh dilakukan karena $(x-1) ≠ 0$
$|(3x+1)-4|<ε$
$|3x-3|<ε$
$|3(x-1)|<ε$
$3|x-1|<ε$
$|x-1|<{ε \over3}$


Misalkan kita pilih sebarang ε>0, maka akan terdapat δ sedemikian hingga
$0<|x-1|<δ \Rightarrow |{{3x^2-2x-1} \over{x-1}}-10|<ε$ yaitu $δ={ε \over3}$

3. $\lim_{x \to4} \sqrt{x}=2$

Bukti
Misalkan kita diberikan sebarng $ε>0$. Kita akan mencari
$δ_ε > 0$ sedemikian sehingga

$0<|x-4|<δ \Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{4}|<ε$

perhatikan bahwa

$|\sqrt{x}-\sqrt{4}|=|{{(\sqrt{x}-\sqrt{4})(\sqrt{x}+\sqrt{4})} \over{\sqrt{x}+\sqrt{4}}}|$

$|{{x-4} \over{\sqrt{x}+2}}|$
${{|x-4 |} \over{\sqrt{x}+2}}≤{|{x-4} |\over{2}}$

diperoleh $δ=2ε$

4. Buktikan bahwa $\lim_{x \to 2}{x^2+x-12 = -6 }$
Misal diambile sebarang $ε >0$, akan dicari $δ$ sedemikian hingga

$0<|x-2|<δ \Leftrightarrow |x^2+x-12-(-6)|<ε$

Perhatikan

$|x^2+x-12-(-6)|=|x^2+x-6|=|(x+3)(x-2)|=|x+3||x-2|$

Nilai $|x-2|$ dapat kita buat sekecil mungkin. Berdampak nilai $|x+3|$ akan bernilai sekitar $5$. Sehingga dapat ditentukan batas atas |x+3|. Untuk melakukan hal tersebut nilai δ harus $\le 1$. Maka akan menakibatkan

$|x+3|=|x-2+5|$
$\le |x-2|+|5|$
$< 1+5=6$

Jika kita menambahkan syarat $δ \le ε/6$, maka akan diperoleh $|x+5||x-2|<ε$.

Diberikan sebarang $ε>0$ pilih   $δ=min{1,{ε \over 6}}$, yaitu memilih nilai terkecil antara $1$ dengan ${ε \over 6}$.
Jika $0<|x-2|<δ$ maka

$|(x^2+x-12)-(-6)|=|x^2+x-6|=|x+3||x-2|<6 \times {ε \over 6} = ε$
Baca Juga
SHARE

Related Posts

Subscribe to get free updates

Post a Comment