Contoh Pembuktian Limit Fungsi Menggunakan Definisi

Cara membuktikan nilai limit suat fungsi adalah dengan mencari nilai delta yang bergantung pada epsilon ($δ_ε$)

berikut contoh-contoh pembuktian limit secara formal
1. $lim_{x \to2}{2x-4}=0$

Bukti:

Misalkan ε adalah sembarang bilangan positif. Kita harus menemukan $δ > 0$ sedemikian
sehingga
$0<|x-2|<δ \Rightarrow |(2x-4)-0|<ε$

Perhatikan pertidak saman di bagian kanan

$|(2x-4)-0|<ε \Leftrightarrow |2x-4<ε|$
$|2(x-2)|<ε$
$2|x-2|<ε$
$|x-2|<{{ε} \over{2}}$

Sekarang kita tahu bagaimana memilih sebarang $ε>0$ pasti akan ada  $δ$ dimana $0<|x-2|<δ$, yaitu $δ = {ε \over2}$ . Tentu saja, sembarang $δ$ yang
lebih kecil juga bisa dipilih.

2. $\lim_{x \to1}{{3x^2-2x-1} \over{x-1}}=4$

Bukti:

Misalkan kita pilih sebarang ε>0, maka akan terdapat δ sedemikian hingga
$0<|x-1|<δ \Rightarrow |{{3x^2-2x-1} \over{x-1}}-4|<ε$ dimana $x ≠ 1$

$|{{3x^2-2x-1} \over{x-1}}-4|<ε \Leftrightarrow |{{(3x+1)(x-1)} \over{x-1}}-10|<ε$
kanselasi $(x-1)$ boleh dilakukan karena $(x-1) ≠ 0$
$|(3x+1)-4|<ε$
$|3x-3|<ε$
$|3(x-1)|<ε$
$3|x-1|<ε$
$|x-1|<{ε \over3}$

Misalkan kita pilih sebarang ε>0, maka akan terdapat δ sedemikian hingga
$0<|x-1|<δ \Rightarrow |{{3x^2-2x-1} \over{x-1}}-10|<ε$ yaitu $δ={ε \over3}$

3. $\lim_{x \to4} \sqrt{x}=2$

Bukti
Misalkan kita diberikan sebarng $ε>0$. Kita akan mencari
$δ_ε > 0$ sedemikian sehingga

$0<|x-4|<δ \Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{4}|<ε$

perhatikan bahwa

$|\sqrt{x}-\sqrt{4}|=|{{(\sqrt{x}-\sqrt{4})(\sqrt{x}+\sqrt{4})} \over{\sqrt{x}+\sqrt{4}}}|$

$|{{x-4} \over{\sqrt{x}+2}}|$
${{|x-4 |} \over{\sqrt{x}+2}}≤{|{x-4} |\over{2}}$

diperoleh $δ=2ε$

4. Buktikan bahwa $\lim_{x \to 2}{x^2+x-12 = -6 }$
Misal diambile sebarang $ε >0$, akan dicari $δ$ sedemikian hingga

$0<|x-2|<δ \Leftrightarrow |x^2+x-12-(-6)|<ε$

Perhatikan

$|x^2+x-12-(-6)|=|x^2+x-6|=|(x+3)(x-2)|=|x+3||x-2|$

Nilai $|x-2|$ dapat kita buat sekecil mungkin. Berdampak nilai $|x+3|$ akan bernilai sekitar $5$. Sehingga dapat ditentukan batas atas |x+3|. Untuk melakukan hal tersebut nilai δ harus $\le 1$. Maka akan menakibatkan

$|x+3|=|x-2+5|$
$\le |x-2|+|5|$
$< 1+5=6$

Jika kita menambahkan syarat $δ \le ε/6$, maka akan diperoleh $|x+5||x-2|<ε$.

Diberikan sebarang $ε>0$ pilih   $δ=min{1,{ε \over 6}}$, yaitu memilih nilai terkecil antara $1$ dengan ${ε \over 6}$.
Jika $0<|x-2|<δ$ maka

$|(x^2+x-12)-(-6)|=|x^2+x-6|=|x+3||x-2|<6 \times {ε \over 6} = ε$