Yahya Effect

Berbagi Info, Tips Seputar Blogging & Internet

Friday, March 9, 2018

Grup – Matematika

himpunan diberi operaso

Operasi Biner


Diberikan A adalah himpunan yang tidak kosong. 
Operasi "*" pada A disebut operasi biner, jika untuk setiap elemen a,b∈A maka berlaku a*b∈A.
Ada pula pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan di atas bahwa operasi  "*" merupakan suata pemetaan dari A×A∈A. Didefinisikan sebagai berikut:

Contoh :

1. Z= Himpunan bilangan bulat
Operasi “+” pada Z merupakan operasi biner sebab Z×Z∈Z
(∀(a,b))∈Z×Z, maka a+b∈Z

2. Operasi “:” pada Z bukan merupakan operasi biner sebab
Ada (a,b)∈Z×Z sedemikian hingga a*b∉Z, contoh (1,2)∈Z×Z tetapi  1:2∉Z

Grup

Dimisalkan G adalah himpunan yang tidak kosong, dan operasi "*" pada G adalah suatu operasi biner.
 (G,*) adalah suatu grup jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:
1. Operasi biner  "*" bersifat asosiatif yaitu:
(∀a,b,c∈G)  (a*b)*c=a*(b*c) 

2. G memuat elemen identitas, misalkan elemen tersebut adalah e maka berlaku
(∃e∈G)(∀a∈G) e*a=a*e=a 

3. Setiap elemen di G mempunyai invers di G 
(∀a∈G)(∃a^(-1)*a=a*a^(-1)=e 
Elemen a^(-1)  disebut invers dari a 

Jika (G,*) suatu grup yang memenuhi sifat komutatif, yaitu:
(∀a,b∈G)  a*b=b*a maka G disebut grup komutatif atau grup Abelian

Banyak elemen dari grup G disebut order dari grup G ditulis dengn o(G).
Jika order dari suatu grup G adalah berhingga, maka grup G disebut gup berhinga.
Jika order dari suatu grup G adalah tak hingga, maka grup G disebut gup tak hinga.
Jika suatu grup G berorder berhinga, maka grup G dapat dibentuk tabel yang disebut table Cayley.

Contoh:
Grup G={1,-1}, maka tabel Cayley nya adalah

*
1
-1
1
1
-1
-1
-1
1

No comments:

Post a Comment